Como isto se relaciona à segunda lei de Kepler?

O produto vetorial dos vetores $\vec{A}$ e $\vec{B}$ , representado pelo símbolo $\vec{A} \times \vec{B}$ , é definido de modo que o resultado seja o vetor $\vec{C}$ :

$\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}$

com módulo:

$C = A B$ $sen$ $θ$

Pela figura podemos ver que $d = A$ $sen$ $θ$ . Desse modo, a área do paralelogramo formado pelos dois lados paralelos de comprimento A e pelos dois lados paralelos de comprimento B é dada pelo produto $B d$ ou $A B$ $sen$ $θ$ . Em outras palavras, o módulo do produto vetorial dos vetores $\vec{A}$ e $\vec{B}$ é igual à área do paralelogramo definido por esses mesmos vetores $\vec{A}$ e $\vec{B}$ .

A segunda lei de Kepler, chamada lei das áreas, afirma que, num referencial fixo no Sol, a reta que une o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais.

Na figura abaixo, que representa a órbita de um planeta ao redor do Sol, considerando o mesmo intervalo de tempo $Δ t$ , as áreas $A_{1}$ e $A_{2}$ são iguais.

Nesta figura, o tamanho do Sol está exagerado relativamente às dimensões da órbita e também a excentricidade da órbita está exagerada por questões didáticas.

A área $A_{1}$ é igual a metade da área do paralelogramo definido pelos vetores ${\vec{r}}_{1}$ e ${\vec{d}}_{1}$ . Pelo que estabelecemos acima sobre a relação entre a área de um paralelogramo e o produto vetorial dos dois vetores que o definem, podemos escrever:

$A_{1} = \frac{1}{2}$ | ${\vec{r}}_{1} \times {\vec{d}}_{1}$ |

em que as barras verticais indicam o módulo do vetor resultante. De modo análogo, temos:

$A_{2} = \frac{1}{2}$ | ${\vec{r}}_{2} \times {\vec{d}}_{2}$ |

Igualando as áreas e dividindo os dois lados da igualdade resultante por $Δ t$ , vem:

| ${\vec{r}}_{1} \times (\frac{{\vec{d}}_{1}}{Δ t})$ | $=$ | ${\vec{r}}_{2} \times (\frac{{\vec{d}}_{2}}{Δ t})$ |

Agora, multiplicando os dois lados dessa igualdade por $m$ , a massa do planeta, e reconhecendo que o cociente ${\vec{d}}_{1}$ / $Δ t$ é igual a velocidade ${\vec{v}}_{1}$ do planeta no deslocamento ${\vec{d}}_{1}$ e que o cociente ${\vec{d}}_{2}$ / $Δ t$ é igual a velocidade ${\vec{v}}_{2}$ do planeta no deslocamento ${\vec{d}}_{2}$ , obtemos:

$m$ | ${\vec{r}}_{1} \times {\vec{v}}_{1}$ | $=$ $m$ | ${\vec{r}}_{2} \times {\vec{v}}_{2}$ |

Para uma partícula de massa $m$ e velocidade $\vec{v}$ , definimos o momentum angular $\vec{𝓁}$ em relação a um dado ponto $O$ por:

$\vec{𝓁} = m$ $\vec{r} \times \vec{v}$

Desse modo, a expressão mais acima indica que os momenta angulares do planeta em relação a um ponto no centro do Sol, nos deslocamentos orbitais considerados, são iguais. E como esses deslocamentos são arbitrários, podemos concluir que o momentum angular do planeta é o mesmo em todos os pontos da sua órbita.

Portanto, a segunda lei de Kepler expressa o princípio de conservação do momentum angular no caso particular das órbitas planetárias.

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